La irrazonable efectividad de las Matemáticas en las ciencias naturales.

La irrazonable efectividad de las matemáticas en las ciencias naturales.

Alguien dijo una vez que la filosofía es el mal uso de una terminología que fue inventada sólo para este propósito, yo diría que las matemáticas son la ciencia de las operaciones hábiles con conceptos y reglas inventadas sólo para este propósito. El énfasis principal está en la invención de conceptos. Las matemáticas pronto se acabarían de teoremas interesantes si éstos tuvieran que ser formulados en términos de los conceptos que ya aparecen en los axiomas. Además, es indudablemente cierto que los conceptos de matemática elemental y particularmente de geometría elemental fueron formulados para describir entidades que son directamente sugeridas por el mundo real, lo mismo no parece ser cierto de los conceptos avanzados, en particular los conceptos que juegan un papel tan 

Importante en la física. Así, las reglas para las operaciones con pares de números se diseñan obviamente para dar los mismos resultados que las operaciones con las fracciones que primero aprendimos sin referencia a "pares de números." Las reglas para las operaciones con secuencias, es decir, con números irracionales, siguen perteneciendo a la categoría de reglas que se determinaron para reproducir reglas para las operaciones con cantidades que ya se conocían. Conceptos matemáticos más avanzados, tales como números complejos, álgebras, operadores lineales, Borel setsãand esta lista podría ser continuada casi indefinidamente ideado que son sujetos aptos en los que el matemático puede demostrar su ingenio y el sentido de la belleza formal. De hecho, la definición de estos conceptos, con la realización que las consideraciones interesantes e ingeniosas podrían ser aplicadas a ellos, es la primera demostración del ingenio del matemático que los define. La profundidad del pensamiento que entra en la formulación de los conceptos matemáticos es justificada más adelante por la habilidad con la cual se utilizan estos conceptos.

 El gran matemático, casi despiadadamente, explota el dominio del razonamiento permisible y bordea lo inadmisible. Que su temeridad no lo lleve a una maraña de contradicciones es un milagro en sí mismo: ciertamente es difícil creer que nuestro poder de razonamiento fue traído, por el proceso de selección natural de Darwin, a la perfección que parece poseer. Sin embargo, este no es nuestro tema actual. 

El punto principal que tendrá que ser recordado más adelante es que el matemático podría formular solamente un puñado de teoremas interesantes sin la definición de conceptos más allá de ésos contenidos en los axiomas y que los conceptos fuera de ésos contenidos en los axiomas son definido con el fin de permitir operaciones lógicas ingeniosas que apelan a nuestro sentido estético tanto como operaciones como en sus resultados de gran generalidad y sencillez.

Los números complejos proporcionan un ejemplo particularmente llamativo para lo anterior. Ciertamente, nada en nuestra experiencia sugiere la introducción de estas cantidades. De hecho, si se pide a un matemático que justifique su interés en números complejos, señalará, con cierta indignación, a los muchos teoremas hermosos en la teoría de ecuaciones, de serie de la energía, y de funciones analíticas en general, que deben su origen a la introducción de números complejos. El matemático no está dispuesto a renunciar a su interés en estos logros más hermosos de su genio. El lector puede estar interesado, a este respecto, en los comentarios más bien probados de Hilbert sobre el intuicionismo que "busca romper y desfigurar las matemáticas.

Los números complejos proporcionan un ejemplo particularmente llamativo para lo anterior. Ciertamente, nada en nuestra experiencia sugiere la introducción de        estas cantidades. De hecho, si se pide a un matemático que justifique su interés en números complejos, señalará, con cierta indignación, a los muchos teoremas hermosos en la teoría de ecuaciones, de serie de la energía, y de funciones analíticas en general, que deben su origen a la introducción de números complejos. El matemático no está dispuesto a renunciar a su interés en estos logros más hermosos de su genio. El lector puede estar interesado, a este respecto, en los comentarios más bien probados de Hilbert sobre el intuicionismo que "busca romper y desfigurar las matemáticas", ABH.

¿Qué es la física?

El físico está interesado en descubrir las leyes de la naturaleza inanimada. Para entender esta afirmación, es necesario analizar el concepto, "ley de la naturaleza".

El mundo que nos rodea es de complejidad desconcertante y el hecho más obvio es que no podemos predecir el futuro. Aunque la broma atribuye solamente al optimista la opinión que el futuro es incierto, el optimista es derecho en este caso: el futuro es impredecible. Es, como Schrödinger ha comentado, un milagro que a pesar de la desconcertante complejidad del mundo, ciertas regularidades en los acontecimientos podrían ser descubiertas. Una de esas regularidades, descubierta por Galileo, es que dos rocas, retiradas al mismo tiempo desde la misma altura, llegan al suelo al mismo tiempo. Las leyes de la naturaleza se refieren a tales regularidades. La regularidad de Galileo es un prototipo de una gran clase de regularidades. Es una regularidad sorprendente por tres razones.

La primera razón que sorprende es que es verdad no sólo en Pisa, y en el tiempo de Galileo, es verdad en todas partes en la tierra, era siempre verdad, y será siempre verdad. Esta propiedad de la regularidad es una propiedad de invariación reconocida y, como tuve ocasión de señalar hace algún tiempo, sin principios de invariación similares a los implicados en la generalización anterior de la observación de Galileo, la física no sería posible. La segunda característica sorprendente es que la regularidad que estamos debatiendo es independiente de tantas condiciones que podrían tener un efecto sobre él. Es válido no importa si llueve o no, si el experimento se lleva a cabo en una habitación o desde la torre inclinada, no importa si la persona que cae las rocas es un hombre o una mujer. Es válido incluso si las dos rocas se retiran, simultáneamente y desde la misma altura, por dos personas diferentes. Hay, evidentemente, innumerables otras condiciones que son inmateriales desde el punto de vista de la validez de la regularidad de Galileo.

 La irrelevancia de tantas circunstancias que podrían desempeñar un papel en el fenómeno observado también se ha llamado una invariación. Sin embargo, esta invariación es de un carácter diferente del anterior, ya que no puede ser formulado como un principio general. La exploración de las condiciones que hacen, y que no, influyen en un fenómeno es parte de la exploración experimental temprana de un campo. Es la habilidad y el ingenio del experimentador que le muestran fenómenos que dependen de un conjunto relativamente estrecho de condiciones relativamente fácilmente realizables y reproducibles.

En el presente caso, la restricción de Galileo desus observaciones a cuerpos relativamente pesados fue el paso más importante a este respecto. Una vez más, es cierto que si no hubiera fenómenos que fueran independientes de todas las condiciones, sino de un pequeño conjunto manejable, la física sería imposible.

El propósito principal de la discusión anterior es señalar que las leyes de la naturaleza son todas declaraciones condicionales y se refieren solamente a una parte muy pequeña de nuestro conocimiento del mundo. Así, la mecánica clásica, que es el prototipo más conocido de una teoría física, da a los segundos derivados de las coordenadas posicionales de todos los cuerpos, sobre la base del conocimiento de las posiciones, etc., de estos cuerpos. No da ninguna información sobre la existencia, las posiciones actuales, o las velocidades de estos cuerpos. Cabe mencionar, en aras de la exactitud, que descubrimos hace unos treinta años que incluso las declaraciones condicionales no pueden ser totalmente precisas: que las declaraciones condicionales son leyes de probabilidad que nos permiten sólo poner apuestas inteligentes en el futuro propiedades del mundo inanimado, basándose en el conocimiento del estado actual. No nos permiten hacer declaraciones categóricas, ni siquiera declaraciones categóricas condicionadas al estado actual del mundo. La naturaleza probabilística de las "leyes de la naturaleza" se manifiesta también en el caso de las máquinas, y puede ser verificada, al menos en el caso de los reactores nucleares, si se las ejecuta a una potencia muy baja. Sin embargo, la limitación adicional del alcance de las leyes de la naturaleza que se deriva de su naturaleza probabilística no desempeñará ningún papel en el resto de la discusión.

El propósito principal de la discusión anterior es señalar que las leyes de la naturaleza son todas declaraciones condicionales y se refieren solamente a una parte muy pequeña de nuestro conocimiento del mundo. Así, la mecánica clásica, que es el prototipo más conocido de una teoría física, da a los segundos derivados de las coordenadas posicionales de todos los cuerpos, sobre la base del conocimiento de las posiciones, etc., de estos cuerpos. 

No da ninguna información sobre la existencia, las posiciones actuales, o las velocidades de estos cuerpos. Cabe mencionar, en aras de la exactitud, que descubrimos hace unos treinta años que incluso las declaraciones condicionales no pueden ser totalmente precisas: que las declaraciones condicionales son leyes de probabilidad que nos permiten sólo poner apuestas inteligentes en el futuro propiedades del mundo inanimado, basándose en el conocimiento del estado actual. No nos permiten hacer declaraciones categóricas, ni siquiera declaraciones categóricas condicionadas al estado actual del mundo. La naturaleza probabilística de las "leyes de la naturaleza" se manifiesta también en el caso de las máquinas, y puede ser verificada, al menos en el caso de los reactores nucleares, si se las ejecuta a una potencia muy baja. Sin embargo, la limitación adicional del alcance de las leyes de la naturaleza que se deriva de su naturaleza probabilística no desempeñará ningún papel en el resto de la discusión.